herrrabbit

原帖由 hetty 于 1/9/2007 15:34 发表
我也来出个题目：
271373
四个圆，如图所示，每个圆心在相邻两个圆的交点上，设每个圆的半径为1，求阴影部分的面积。

由于每个圆的圆心在向另两个圆的交点上，因此每个圆真正涉及到阴影几何体的只有其中的四分之一。问题简化为四个1/4圆相交问题。可以同时理解为一个边长为R的正方形，以其四个顶点为圆心边长为半径画弧，求四条弧包围的阴影面积(如图所示)，由于四个圆弧半径相同，且其对应圆心距相同，圆心距等于半径，三点连线形成的三角形O1O2B为正三角形，所以另一侧角度Psy是30度，同理另一侧也是三角形O2O3C为正三角形，角Theta也为30度，所以中间的A角也为30度。

那么四条弧的交点将四条弧分别等分为三段，因此阴影部分由四条30度弧围成。阴影面积等于四条弧顶面积(扇形面积减去其对应圆心角的三角形面积(红色部分)，即天蓝色部分)与以弧顶点连线为半径的正方形(翠绿色部分)之和。

广义的公式推导如下：设半径暨边长为R，扇形对应同圆心角的三角形三条边分别为a,b,c,三条边对应的顶角为A,B,C

基本公式：
扇形面积: S扇形=pi*R²*A/360
三角形面积:
S三角形=1/2*b*c*sinA=1/2*a*c*sinB=1/2*a*b*sinC
三角形已知两边及其夹角求第三边(余弦定理)：c²=a²+b²-2*ab*cosC(其他两个公式根据平等互换原则)

则阴影部分面积S阴影等于：

S阴影=4xS弧顶+S正方形=4·(S扇形-S三角形)+S正方形=[4·(pi*R²*A/360-1/2*b*c*sinA
)+(b²+c²-2*bc*cosA)]!R=b=c=1; A=30°=1/3*pi+1-1,732051(*根号三)




[ 本帖最后由 herrrabbit 于 2007-9-1 19:42 编辑 ]

herrrabbit

强烈建议以后把回帖的界面弄成Office一样的，这样对于插入图片或者公式，或者可以直接从本地磁盘插入图片，或者改变颜色字体大小等等都更方便，其他的可以保留，嗬嗬！:gawp:要不这样发帖子太累了！:chicken:

herrrabbit

原帖由 hetty 于 1/9/2007 19:23 发表
貌似还是没有说清楚为什么是30的弧……其实这个题目，小学五年级左右就能做了，不过是数学竞赛的题目，不过小学的方法比中学的繁琐一点。那时我和我的很多同学都做出来的，有一段不错的回忆……

两个等圆过对 ...

圆心距等于半径，三点连线为正三角形，所以另一侧是30度，通力另一侧也是，所以中间的A角也为30度。同意！看起来是把有的东西还给老师了。从你这里受到启发，又把还给老师的拿回来了。我加到里面去

[ 本帖最后由 herrrabbit 于 2007-9-1 19:35 编辑 ]

herrrabbit

原帖由 ivydy 于 1/9/2007 21:43 发表
我也来出题，高中生自习ing，一学生肚子饿了，掏出一包大白兔奶糖，第一颗吃下去可以顶半小时饿，以后没颗所能支持的时间是第一颗的二分之一，问这包糖最多能让该学生支持多长时间

我上自习不吃大白兔奶糖的:naughty:，而且你一包大白兔奶糖有多少颗啊？

这个不是一个一般的级数问题，不是简单的1/2+1/4+.....+1/2^n|n无穷 然后去极限等于1小时的问题！

按照一般来说一包大白兔里面应该有至少30颗，一般吃一颗要看你怎么吃发了，有含化的，有嚼着吃的，嚼着吃比较快，我不知道常人怎么样，我最快可以嚼着吃半分钟一颗。OK，就算有更快的吧。那么仔细算算，把剥糖纸的时间算为零，也算是吃了马上就消化吸收了，然后消化完了马上就会感到饿，那就饿了就吃，那么你吃到第19颗的时候还能够嚼两下，吃第20颗的时候就得生吞了，然后往下走吧，等你30颗吃完的时候，一包也没有了，还不到一个小时呢！但是你会因为这样贪吃直接就送医院了，消化不良！更有可能直接一命呜呼，因为他来不及呼吸了，所有时间都放在吞糖上面了:astonishment:

结论：这包糖最多让该学生支持永久的生命，因为死了也不会感到饿了！居然临死还能吃完一包大白兔，幸福！

herrrabbit

而且按照高中生的规矩，上晚自习好像不准吃东西，各个学校规定不一样吧，就算能吃，拿出来就被其他人抢光了，那么就有以下情况：

不准吃或者一颗没吃着：就挨饿吧！
只吃一颗就被抢光了：那就半个小时
不被抢：30颗奶糖还没有吃完晚自习就结束了，回寝室泡方便面！
按照前面的说法：死翘翘

herrrabbit

原帖由 ivydy 于 1/9/2007 22:34 发表
嗯，好像你们两个离高中生活太远了！！！！！！
这真是我高中时候给同学出的题啊
正确答案是
理论上一小时
实际上一拿出来就被大家抢没了，自己能吃到一颗管半小时就不错了

不过当时同学也就是这么答的哦 ...

莫名惊讶啊！

herrrabbit

原帖由 hettyw 于 1/9/2007 22:57 发表

不是啊，前面也有类似脑筋急转弯的题目，这里不是严肃的场合。
我只是想到我的中学生活，和一群变态在一起生活太久了，身心俱伤，唉。不过也所以现在看到什么样的人都不会觉得奇怪了。

不说了，大家继续出 ...

场合的确不用太严肃，大家一起玩吗！

不过那道题是脑筋急转弯了？:astonishment:

herrrabbit

原帖由 hettyw 于 1/9/2007 23:06 发表
以下请用一元一次方程式解：

某次数学比赛，有两种评分方法：第一种答对一题得5分，不答得2分，答错不扣分；第二种先给40分，答对一题得3分，不答不得分，答错扣1分，某学生用两种方法评分均得81分，请问这次 ...

这么快就删除一道题了，那就先解决第一题吧。

第一题：我觉得如果是一元一次的话不能列等式，那只好是不等式了：
由于不答也可以的两分，但是结果81分是一个奇数，那么说明答对的肯定是一个奇数了。
但是如果全部都答对的话，也得不到81分这个结果，说明两个都有，也就是说如果都答对的话，肯定高于81分；所以我想这么列式：
假设答对了x题，那么：5x<=81 & (40+3x)>=81,由这两个也就得出14<=x<=16，而且答对的一定要是奇数，也就是说答对了15题。
15题答对了，得分75分，按照第一种评分，没有回答的题有(81-75)/2=3道题；按照第二种评分标准，答对了15题得了45+40=85分，扣了四分，那么四道题答错，题目总数为15+3+4=22题

PS>第二题有问题吗？我看看，我有记下来

herrrabbit

第二题：曾经存在的时候是：修水渠，每天多修8米可以提前4天完工，每天少修8米要延迟4天才完工，问总长多少！
按照纯数学去看的话，先从多元方程角度出发找答案吧，假设每天完成L米，总共需要N天，总长为S米，那么：
N*L=S & (N-4)(L+8)=S & (N+4)(L-8)=S,解答出来只能得到2N=L,但是不可能出现负时间，而且提前四天完成的话，至少原来需要5天，因为不可能不修就完成，那么N>=5, L>=10, S>=50
问题出来了，从前两个方程合并得到NL+8N-4L-32=S=NL,也就是说8N-4L-32=0=4L-4L-32=-32
Super!一个恒不等式 -32=0。是有问题！

herrrabbit

原帖由 hetty 于 2/9/2007 09:17 发表


哈哈，是发了题目再自己解的，所以……
网上搜出来的题目，的确很简单。

题目不是Hetty发的，是另一个马甲发的！听说是忘了换过来了:blackness::blackness: